Chad Giusti, Giuliamaria Menara
本文探讨了图的 magnitude 同调群（magnitude homology groups）的秩与其子图结构之间的联系。为此，作者引入了 magnitude 同调的变体，称为欧拉 magnitude 同调（eulerian magnitude homology）和判别 magnitude 同调（discriminant magnitude homology）。利用 magnitude 同调中微分的组合学，作者展示了第一对角线上的欧拉 magnitude 同调群的秩与属于特定类别的子图计数之间的密切关系。
作者利用这些工具研究了 Erdős–Rényi 随机图和随机几何图的欧拉 magnitude 同调群的极限行为，为两种模型在第一对角线上的欧拉 magnitude 同调群建立了消失阈值（vanishing threshold）。这反过来又为相应的 magnitude 同调群的生成元提供了刻画。最后，作者为这些随机图模型在第一对角线上的欧拉 magnitude 同调的期望秩建立了显式的渐近估计。